Lý thuyết điện từ của James Clerk Maxwell đã giải thích sự xuất hiện của sóng điện từ như sau. Mọi điện tích khi thay đổi vận tốc (tăng tốc hay giảm tốc), hoặc mọi từ trường biến đổi, đều là nguồn sinh ra các sóng điện từ. Khi từ trường hay điện trường biến đổi tại một điểm trong không gian, theo hệ phương trình Maxwell, các từ trường hay điện trường ở các điểm xung quanh cũng bị biến đổi theo, và cứ như thế sự biến đổi này lan toả ra xung quanh với vận tốc ánh sáng.

Biểu diễn toán học về từ trường và điện trường sinh ra từ một nguồn biến đổi chứa thêm các phần mô tả về dao động của nguồn, nhưng xảy ra sau một thời gian chậm hơn so với tại nguồn. Đó chính là mô tả toán học của bức xạ điện từ. Tuy trong các phương trình Maxwell, bức xạ điện từ hoàn toàn có tính chất sóng, đặc trưng bởi vận tốc, bước sóng (hoặc tần số), nhưng nó cũng có tính chất hạt, theo thuyết lượng tử, với năng lượng liên hệ với bước sóng như đã trình bày ở mục các tính chất.

Phương trình Maxwell

Có thể chứng minh dao động điện từ lan truyền trong không gian dưới dạng sóng bằng các phương trình Maxwell.

Xét trường hợp điện trường và/hoặc từ trường biến đổi trong chân không và không có dòng điện hay điện tích tự do trong không gian đang xét; 4 phương trình Maxwell rút gọn thành:

∇ ⋅ E = 0     ( 1 ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (1)} ∇ × E = − ∂ ∂ t B ( 2 ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \qquad \qquad (2)} ∇ ⋅ B = 0     ( 3 ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (3)} ∇ × B = μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t E       ( 4 ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \qquad \ \ \ (4)}

Nghiệm tầm thường của hệ phương trình trên là:

E = B = 0 {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} } ,

Để tìm nghiệm không tầm thường, có thể sử dụng đẳng thức giải tích véc tơ:

∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} }

Bằng cách lấy rôta hai vế của phương trình (2):

∇ × ( ∇ × E ) = ∇ × ( − ∂ B ∂ t )       ( 5 ) {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (5)\,}

Rồi đơn giản hóa vế trái (tận dụng phương trình (1) trong quá trình đơn giản hóa):

∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − ∇ 2 E   ( 6 ) {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} \qquad \quad \ (6)\,}

Và đơn giản hóa vế phải (tận dụng phương trình (4) trong quá trình đơn giản hóa):

∇ × ( − ∂ B ∂ t ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 ∂ 2 t E ( 7 ) {\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}\mathbf {E} \qquad (7)}

Cân bằng 2 vế (6) và (7) để thu được phương trình vi phân cho điện trường:

∇ 2 E = μ 0 ϵ 0 ∂ 2 ∂ t 2 E {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} }

Có thể thực hiện các biến đổi tương tự như trên để thu được phương trình vi phân với từ trường:

∇ 2 B = μ 0 ϵ 0 ∂ 2 ∂ t 2 B {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} } .

Hai phương trình vi phân trên chính là các phương trình sóng, dạng tổng quát:

∇ 2 f = 1 c 0 2 ∂ 2 f ∂ t 2 {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,}

với c0 là tốc độ lan truyền của sóng và f miêu tả cường độ dao động của sóng theo thời gian và vị trí trong không gian. Trong trường hợp của các phương trình sóng liên quan đến điện trường và từ trường nêu trên, ta thấy nghiệm của phương trình thể hiện điện trường và từ trường sẽ biến đổi trong không gian và thời gian như những sóng, với tốc độ:

c 0 = 1 μ 0 ϵ 0 {\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}

Đây chính là tốc độ ánh sáng trong chân không. Nghiệm của phương trình sóng cho điện trường là:

E = E 0 f ( k ^ ⋅ x − c 0 t ) {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}

Với E0 là một hằng số véc tơ đóng vai trò như biên độ của dao động điện trường, f là hàm khả vi bậc hai bất kỳ, k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} là véc tơ đơn vị theo phương lan truyền của sóng, và x là tọa độ của điểm đang xét. Tuy nghiệm này thỏa mãn phương trình sóng, để thỏa mãn tất cả các phương trình Maxwell, cần có thêm ràng buộc:

∇ ⋅ E = k ^ ⋅ E 0 f ′ ( k ^ ⋅ x − c 0 t ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0} E ⋅ k ^ = 0       ( 8 ) {\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (8)\,} ∇ × E = k ^ × E 0 f ′ ( k ^ ⋅ x − c 0 t ) = − ∂ ∂ t B {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} } B = 1 c 0 k ^ × E       ( 9 ) {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (9)\,} Một trường hợp đặc biệt của sóng điện từ lan truyền theo phương z, gọi là sóng phẳng điều hòa với thành phần điện trường chỉ dao động theo phương y, E = (0, Aysin[k(z-c0t)], 0), còn từ trường chỉ dao động điều hòa theo phương x, B = (0, Axsin[k(z-c0t)], 0) = (0, [Ay/c]sin[k(z-c0t)], 0).

(8) suy ra điện trường phải luôn vuông góc với hướng lan truyền của sóng và (9) cho thấy từ trường thì vuông góc với cả điện trường và hướng lan truyền; đồng thời E0 = c0 B0. Nghiệm này của phương trình Maxwell chính là sóng điện từ phẳng.

Năng lượng và xung lượng

Mật độ năng lượng của trường điện từ nói chung:

u = (E.D + B.H)/2

Trong chân không:

u = (ε0|E|2 + μ0|H|2)/2

Với sóng điện từ phẳng tuân thủ phương trình (9) nêu trên, ta thấy năng lượng điện đúng bằng năng lượng từ, và:

u = ε0|E|2 = μ0|H|2